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Fußball und Mathematik – wie passt das denn zusammen? Super, denn: Im Thema Fußball steckt ganz viel Mathematik drin. Wo und wie, das wollen wir auf dieser Plattform zeigen. Pünktlich zur Fußball-WM 2014 in Brasilien stellen wir hier Berechnungen und mathematische Informationen rund um die WM und das Thema Fußball zusammen. Im Mittelpunkt stehen Prognosen und Simulationen zu den möglichen Spielergebnissen. Und wir wollen uns auf mathematischem Weg der alles entscheidenden Frage annähern:

Wer wird Fußball-Weltmeister 2014?

Das Team der deutschen Fußballnationalmannschaft ist in die recht anspruchsvolle Gruppe G gelost worden. Aber was bedeutet das eigentlich? Sind Portugal oder Ghana wirklich so stark? Wie sieht es mit den USA aus? Gegen diese Mannschaft hat das Team von Jogi Löw das letzte Spiel verloren. Auf dieser Webseite versuchen wir mit Hilfe stochastischer Modelle und Simulationen, die am Lehrstuhl MATIS I entwickelt wurden, ein wenig Klarheit in die Gemengelage zu bekommen.

Prognose und Simulation

Auf der Webseite steht ein Prognosemodell, sowie eine Simulation zur Verfügung. In das Prognosemodell fließen derzeit die historischen Ergebnisse und das Torverhältnis zwischen den Mannschaften ein sowie die derzeitig erreichten FIFA-Punkte. Der Benutzer kann die Gewichtung dieser Faktoren ändern. Allerdings lassen sich nicht alle Faktoren exakt bestimmen. So gibt es bisher keine einheitliche Lösung für die Frage wie FIFA-Punkte in Erwartungswerte für Tordifferenzen umgerechnet werden können. Wir haben hier einen praktikablen Vorschlag erarbeitet. Auch der aktuelle Wert einer Mannschaft könnte bei der Prognose eine Rolle spielen. Es lässt sich leicht feststellen, dass der aktuelle Wert einer Mannschaft sehr stark mit den FIFA-Punkten (r=.72**) korreliert. Wir haben deshalb derzeit auf die Benutzung des Mannschaftswertes verzichtet.

Bei der Simulation kann der Benutzer eine ganz persönliche WM spielen lassen. Nach jedem Klick wird das Ergebnis der Simulation angezeigt, da kann es schon mal vorkommen, dass Honduras Weltmeister wird. Aber eben nur in einem von 1000 Fällen. Bei der Simulation wird das Turnier immer bis zum Ende gespielt. Es werden auch die Ergebnisse der Spiele in der K.O.-Phase angezeigt. Die einzelnen Spielausgänge werden über das jeweilige Torverhältnis und den aktuellen Fifa-Rang berechnet. Bei der Simulation kann der Benutzer eine ganz persönliche WM spielen lassen.

Wahrscheinlichkeiten für Sieg, Unentschieden oder Niederlage

Als Grundlage für die Berechnungen dient ein einfaches Bernoulliexperiment. Die Grundzüge für die Berechnungen kann man also in der Schule nachvollziehen. Wenn wir davon ausgehen, dass die Ergebnisse von Fußballspielen Zufallsereignisse mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten sind, dann dürfen wir das machen.
Was ist die Grundlage unserer Annahme? Wir gestehen jeder Mannschaft eine bestimmte Anzahl von Torschüssen zu. Die durchschnittliche Torrate pro Schuss liegt bei 1/6. Jede Mannschaft schießt durchschnittlich 9-mal direkt aufs Tor. Die eine Mannschaft trifft aber, aus der bisherigen Erfahrung heraus, häufiger als die andere. Sie hat also eine höhere Torwahrscheinlichkeit bei jedem Schuss. So ist es uns möglich, die Siegwahrscheinlichkeit für die einzelnen Begegnungen abzuschätzen.

Die Prognose

Wie wurden diese Werte in der Tabelle berechnet? Die Tabelle mit den Prozentwerten beruht auf den Siegwahrscheinlichkeiten zwischen den betreffenden Mannschaften. Diese Siegwahrscheinlichkeiten werden zum einen Teil aus den Ergebnissen der historischen Spielbegegnungen (Anzahl der Siege, Anzahl der Unentschieden, Anzahl der Niederlagen und Torverhältnis) berechnet. Es fließt außerdem die derzeitige FIFA-Punktzahl der Mannschaft ein, da z.B. manche Mannschaften noch nie gegeneinander gespielt haben, oder die Datenlage sehr dünn ist.

Zunächst werden die Gruppenspiele berechnet. Hier spielt jeder gegen jeden. Jede Mannschaft macht drei Spiele. Die maximal zu erreichende Punktzahl liegt bei drei Siegen bei 9 Punkten. Um Gruppenerster zu werden muss man mindestens 7 Punkte (2x Sieg, 1x Unentschieden) erreichen, in manchen Fällen genügen auch 6 Punkte. Um das Viertelfinale zu erreichen, genügen auf jeden Fall 5 Punkte aus den Gruppenspielen, manchmal 4 Punkte und in ganz seltenen Fällen sogar drei Punkte.
Man wird somit für jede Mannschaft eine bestimmte Wahrscheinlichkeit erhalten, die K.O.-Phase zu erreichen. Nun werden alle möglichen Begegnungen in der K.O.-Phase berechnet. Dabei wird für jede Mannschaft sowohl die Möglichkeit betrachtet, dass sich diese als Gruppenerster (Pfad 1) oder als Gruppenzweiter (Pfad 2) durch die K.O.-Phase kämpft.

Zum Schluss werden die jeweiligen Siegwahrscheinlichkeiten der einzelnen K.O.-Phasenabschnitte addiert und man kommt auf die Wahrscheinlichkeiten, dass ein bestimmter Abschnitt (Viertelfinale, Halbfinale, Finale) der K.O.-Phase erreicht wird. Dadurch sind sehr viele Additionen, Multiplikationen und Speicherabfragen nötig, wodurch man derzeit einige Sekunden auf die Neuberechnung der Tabelle warten muss. Wenn die WM begonnen hat, wird jedes neue Spielergebnis eingepflegt und so verändert sich im Laufe der WM die Siegwahrscheinlichkeit für die einzelnen Mannschaften.



Von Matthias Ludwig und Iwan Gurjanow